IB Matematik Analysis and Approaches (AA) kursu, matematik tutkunu öğrenciler için tasarlanmış bir programdır ve gerçek dünya problemlerini çözmek üzere güçlü bir temel sunar. Bu kurs, IB Math AA topics‘i kapsar; hem SL hem de HL seviyelerinde farklı derinliklerle işlenir, böylece her öğrencinin ihtiyaçlarına uyum sağlar. SL seviyesi 150 öğretim saatiyle temel kavramlara odaklanırken, HL 240 saatle daha karmaşık modellere ve uygulamalara yer verir; her ikisi de 30 saatlik Internal Assessment (IA) ile tamamlanır.
Beş ana konu, programı yapılandırır: Number and Algebra, Functions, Geometry and Trigonometry, Statistics and Probability, Calculus. Number and Algebra’da linear equations ve quadratics gibi temel yapılar ele alınır; Functions ise sequence ve limits gibi büyüme modellerini inceler. Geometry and Trigonometry üçgenleri ve koordinat sistemlerini, Statistics and Probability veri analizini ve olasılık hesaplarını kapsar; Calculus ise türev ve integralleri işler, HL’de Maclaurin series gibi ileri konularla zenginleşir.
Aralık 2025 güncellemeleriyle IB Matematik AA syllabus daha akıcı hale geldi; differential equations HL’de genişletildi, growth ve decay modelleri eklendi, probability vurgusu arttı ve konu sırası functions ile sequences’ten başlayıp calculus’a doğru ilerleyecek şekilde iyileştirildi. Bu değişiklikler, öğrencilerin adım adım ilerlemesini sağlar ve no-calculator becerilerini güçlendirir.
Eğer IB Math AA ile uğraşıyorsan ve syllabus’u tam anlamak istiyorsan, bu rehber tam sana göre. Her konuyu basitçe açıklayacak, örneklerle pekiştirecek ve sınav stratejileri vereceğiz; SL veya HL fark etmez, başarıya giden yolu göstereceğiz. Hemen dalalım ve matematiği eğlenceli kılalım, sen hazırsın!
Number and Algebra: Temel Matematik Becerilerini Güçlendirin
IB Math AA syllabus’unda Number and Algebra bölümü, matematiğin temel taşlarını yerleştirir ve seni ileri konulara hazırlar. Bu kısım, sequences’ten complex numbers’a kadar uzanır; SL’de pratik beceriler ön planda kalırken HL’de proofs ve derin analizler devreye girer. Gerçek hayatta finans modellerinden mühendislik hesaplarına kadar her yerde işine yarayacak araçları burada kazanırsın. Hadi her alt konuyu adım adım inceleyelim, formülleri verip örneklerle pekiştirelim.
Sequences ve Series: Seri Toplamlarını Öğrenin
Sequences, bir sayı dizisini tanımlar; örneğin arithmetic sequence’lerde her terim sabit bir fark (common difference, d) ile artar. Genel terim a_n = a_1 + (n-1)d formülüyle hesaplanır. Geometric sequences ise common ratio (r) ile büyür; a_n = a_1 * r^{n-1}. Sigma notation (∑) ile series toplamlarını kısaltırız, mesela ∑_{k=1}^n k = n(n+1)/2.
Arithmetic series sum’ı S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d) veya S_n = n/2 * (a_1 + a_n) şeklindedir. Geometric series için ise sonsuz r<1’de S = a_1 / (1-r), sonlu için S_n = a_1 (1 – r^n) / (1 – r) geçerlidir.
Örnek çözelim: Bir arithmetic sequence 2, 5, 8, … ise ilk 10 terimin sum’ını bul. Burada a_1=2, d=3, n=10. S_10 = 10/2 * (22 + 93) = 5*(4+27)=5*31=155. Kolay değil mi?
Geometric bir örnek: 3, 6, 12, … (r=2) ilk 5 terim. S_5 = 3*(1-2^5)/(1-2) = 3*(1-32)/(-1) = 331=93. Sigma ile yazarsak ∑_{n=1}^5 32^{n-1}=93.
Yale’nin discrete math notları sequences’i detaylı anlatır, syllabus’una bak derim. Pratik yapınca sınavda hızlı çözersin.
Complex Numbers ve Proofs: Karmaşık Sayılarla Tanışın
Complex numbers, gerçek sayılarla yetinemediğimizde devreye girer; genel form z = a + bi (i^2=-1). Operations basit: toplama (3+2i) + (1-4i)=4-2i, çarpma (a+bi)(c+di)=(ac-bd) + (ad+bc)i.
Polar form z = r (cos θ + i sin θ) veya r e^{iθ} ile ifade ederiz; r modulus, θ argument. De Moivre’s theorem mucizesi: [r (cos θ + i sin θ)]^n = r^n (cos nθ + i sin nθ). Bu, kök bulmada ve rotasyonlarda vazgeçilmez.
Örnek: (1+i)^4’ü bul. Önce polar: r=√2, θ=π/4. (√2)^4 (cos π + i sin π)=4*(-1 + 0i)=-4. Doğru!
Proofs için SL’de direct proof veya contradiction yeter; HL’de induction ve contrapositive eklenir. Mesela “her arithmetic sequence convergent değil”i kanıtla: r≥1 ise diverges, contradiction ile göster.
HL advanced: nth roots of unity, z^n=1 çözümleri e^{2πik/n} için k=0 to n-1. Harvard’ın complex analysis kursu polar form ve De Moivre’yi derinleştirir.
Bu araçlarla elektrik mühendisliğinden grafikte animasyonlara kadar uygula; proofs becerin sorgulama yeteneğini keskinleştirir.
Exponents, Logs ve Linear Equations
Exponents kuralları temel: a^m * a^n = a^{m+n}, (a^m)^n=a^{mn}, a^{-m}=1/a^m. Logs ters iş: log_b (a^c)=c log_b a, change of base log_b a = ln a / ln b. Binomial theorem genişletir: (a+b)^n = ∑_{k=0}^n C(n,k) a^{n-k} b^k, C(n,k)=n!/(k!(n-k)!).
Örnek: (2+x)^3=8 + 12x + 6x^2 + x^3. Pratik ipucu: Pascal üçgeni ezberle, hızlı hesapla.
Linear equations sistemleri: 2x + 3y=5, 4x – y=3. Substitution veya elimination ile çöz; x=2, y=0.33. Matrisle determinant=AD-BC≠0 ise unique solution.
Sistemler için Gaussian elimination: augmented matrix kur, row operations ile echelon form’a getir. İpucu: calculator’sız pratik yap, IB no-calculator paper’ları için şart.
Karşılaştırma tablosu:
| Yöntem | Avantajı | Dezavantajı |
|---|---|---|
| Substitution | Basit sistemlerde hızlı | Karmaşık ifadeler yorar |
| Elimination | Matris uyumlu | Hesap hatası riski |
| Matrix Inverse | Büyük sistemler için ideal | HL’de inverse hesapla |
Penn State math bulletin linear algebra örnekleri verir. Bu becerilerle ekonomi modelleri kur, günlük hayatta bütçe dengelerini çöz.
Functions: Grafik Çizim ve Dönüşümleri Keşfedin
Functions bölümü IB Math AA syllabus’unda matematiğin kalbi sayılır çünkü gerçek dünya modellerini grafiklerle görselleştirmeni sağlar ve seni calculus’a hazırlar. Burada linear, quadratic, exponential gibi temel fonksiyonları tanır, grafik özelliklerini ezberlersin; transformations ile bunları kaydırır, büyütür veya yansıtır, inverse ve composite functions ile karmaşık ilişkileri çözersin. SL’de grafik çizimi ve temel değişimler ön planda kalırken HL’de derin analizler ve proofs eklenir. Mount Vernon High School’un IB Math AA PreCalc notları bu konuları pratik örneklerle destekler. Hadi temel tiplerden başlayıp transformations’a geçelim, her şeyi örneklerle pekiştirelim.
Temel Fonksiyon Tipleri ve Grafikleri
Temel fonksiyon tipleri her IB Math AA sorusunun temelini oluşturur ve grafik özellikleri onları tanımanı kolaylaştırır. Linear functions (y = mx + c) düz çizgiler çizer; m eğim (slope) belirler, pozitifse sağa yukarı, negatifse sağa aşağı gider, c y-intercept’tir ve x=0 noktasını verir. Grafik her zaman sonsuza uzanır, simetri yoktur.
Quadratic functions (y = ax^2 + bx + c) parabolalar yapar; a > 0 ise yukarı açılır (minimum vertex), a < 0 aşağı açılır (maximum). Vertex ( -b/(2a) , f(-b/(2a)) ) hesaplanır, axis of symmetry x = -b/(2a)’dir. Roots discriminant D = b^2 – 4ac ile bulunur; D>0 iki root, D=0 bir root, D<0 hiç root yok.
Exponential functions (y = a^x, a>0, a≠1) hızlı büyür veya küçülür; y = 2^x sağa yukarı kıvrılır, y-intercept (0,1), horizontal asymptote y=0. Logarithmic tersidir (y = log_a x), yavaş büyür, x-intercept (1,0), vertical asymptote x=0.
Diğer tipler şöyle şekillenir: Cubic functions (y = x^3 + … ) S şeklinde kıvrılır, bir veya üç root’a sahip; rational functions (y = p(x)/q(x)) asimptotlara sahiptir, vertical (q(x)=0), horizontal (dereceler eşitse oran). Reciprocal (y=1/x) hiperboladır, origin’de simetriktir.
Bu özellikleri ezberle ki exam’da hızlı sketch yap. Mesela quadratic y = x^2 – 4x + 3 için vertex x=2, y=-1, roots 1 ve 3; grafik aşağıdan yukarı parabol keser.
| Fonksiyon Tipi | Grafik Şekli | Ana Özellikler |
|---|---|---|
| Linear | Düz çizgi | Eğim m, y-intercept c |
| Quadratic | Parabola | Vertex, axis of symmetry |
| Exponential | Kıvrımlı büyüme | Horizontal asymptote y=0 |
| Logarithmic | Yavaş artış | Vertical asymptote x=0 |
University of Florida’nın calculus syllabus’u linear ve exponential graphing’i uygulamalı anlatır.
Transformations ve Inverse Functions
Transformations fonksiyon grafiklerinizi kişiselleştirmenizi sağlar ve IB exam’larında sık sorulur; translations, stretches, reflections ile temel grafikleri değiştirirsiniz. Vertical translation f(x) + k yukarı (k>0) veya aşağı kaydırır; horizontal g(x) = f(x – h) sağa (h>0) kaydırır.
Stretches şöyle çalışır: a f(x) (a>1) vertical stretch (yönünde büyütme), f(bx) (b>1) horizontal compression. Reflections f(-x) y-ekseni üstünde, -f(x) x-ekseni üstünde yansıtır. Composite functions f(g(x)) önce g uygular sonra f; inverse f^{-1}(x) ise y=x çizgisi üstünde yansıtır, domain-range değişir.
Örnek inceleyelim: y = x^2 için transformations: y = (x-2)^2 + 3 sağa 2, yukarı 3 kaydırır; y = 2x^2 vertical stretch factor 2 yapar; y = – (x)^2 aşağı yansıtır. Inverse için quadratic ters alamazsın ama linear y=2x+1’in inverse’i (x-1)/2’dir; grafik y=x üstünde simetriktir.
HL’de composite’ları çöz: f(x)=x^2, g(x)=x+1 ise f(g(x))=(x+1)^2. Inverse bulmak için solve y=f(x) for x. Pratik ipucu: sketch çiz, transformation’ları uygula ki görsel hafızan güçlensin.
Geometry and Trigonometry: Şekiller ve Açıları Ustalaşın
IB Math AA syllabus’unda Geometry and Trigonometry bölümü, şekillerin ve açıların gücünü gösterir. Burada üçgenlerden vektörlere, trig fonksiyonlarından 3D modellere geçersin; SL’de temel hesaplar ve grafikler ön planda kalırken HL’de derin uygulamalar ve proofs eklenir. Gerçek hayatta mimariden fizik simülasyonlarına kadar her alanda kullanırsın bu araçları. Transformations ile koordinat sistemlerini yönetir, trig ile dalga modelleri kurarsın. Hadi alt konuları örneklerle açalım, formülleri verip pratik yapalım ki exam’da rahat edesin.
Trigonometrik Fonksiyonlar ve Kimlikler
Trigonometrik fonksiyonlar sin, cos, tan gibi temel araçlardır ve grafikleri periodik yapılarıyla tanınır. Sin x ve cos x 2π periyodunda salınır, amplitude 1’dir; sin x 0’dan başlar yukarı çıkar, cos x 1’den başlar. Tan x π periyodludur, vertical asymptotlarda (π/2 + kπ) sonsuza gider. Bu grafikleri ezberle ki transformations uygula; mesela y = 2 sin(3x + π/4) amplitude 2, period 2π/3, phase shift -π/12 yapar.
Double-angle formulas trig hesaplarını hızlandırır. Sin 2θ = 2 sin θ cos θ, cos 2θ = cos²θ – sin²θ veya 2 cos²θ – 1, tan 2θ = 2 tan θ / (1 – tan²θ). Bunlar ile compound angle’lar çözersin; sin(A+B) = sin A cos B + cos A sin B gibi. Middle Georgia State University’nin trig formula sheet’i tüm kimlikleri listeler, yazdırıp çalış.
Trig equations çözmek için unit circle’ı kullan. Sin x = 1/2 ise x = π/6 + 2kπ veya 5π/6 + 2kπ (k integer). Cos x = -√3/2 için x = 5π/6 + 2kπ veya 7π/6 + 2kπ. Factorize et: sin²x – sin x = 0 ise sin x (sin x – 1) = 0, x = kπ veya π/2 + 2kπ.
Örnek çözelim: 2 sin²θ – sin θ – 1 = 0. Quadratic gibi u = sin θ koy, u = [1 ± √9]/4 = 1 veya -1/2. Sin θ = 1 ise θ = π/2 + 2kπ; sin θ = -1/2 ise θ = 7π/6 + 2kπ, 11π/6 + 2kπ. Grafik çizip doğrulayınca aklında kalır.
Kimlikler kanıtla: Pythagorean sin²θ + cos²θ = 1 temel, derive et tan²θ + 1 = sec²θ. SL’de apply et, HL’de proof yaz. Bu becerilerle dalga fonksiyonları modelle, exam soruları kolaylaşır.
| Fonksiyon | Periyod | Amplitude | Asymptotlar |
|---|---|---|---|
| Sin x | 2π | 1 | Yok |
| Cos x | 2π | 1 | Yok |
| Tan x | π | Yok | π/2 + kπ |
Vectors ve 3D Geometri
Vectors, yön ve büyüklük taşır; i, j, k birim vektörlerle (2, 3, -1) gibi yazılır. Operations basit: toplama (a + b), scalar çarpım k(a), magnitude ||a|| = √(x² + y² + z²). Direction cosines cos α = a_x / ||a|| gibi bulunur.
Scalar product (dot product) a · b = ||a|| ||b|| cos θ = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z açı ve projeksiyon verir. θ = 0 ise paralel, θ = 90° perpendicular (dot=0). Örnek: a = (1,2,3), b=(4,-5,6) ise a·b=14 + 2(-5) + 3*6=12-10+18=20. MIT OpenCourseWare’ın vectors notları operations’ı örneklerle anlatır.
3D geometride plane equation ax + by + cz = d, normal vector (a,b,c). İki vektörün cross product’i a × b normal verir, magnitude alan. Volume scalar triple product |a · (b × c)| paralelkenar piramidi hacmi yapar. Surface area için cylinder 2πrh + 2πr², sphere 4πr² ezberle.
Örnek hesapla: Vektörler a=(1,0,0), b=(0,1,0), c=(0,0,1) paralelkenar hacmi |a·(b×c)|=1. Prism volume base area * height ile genişlet.
Photo by Google DeepMind
HL’de line intersection bul: parametric r = a + t d ile çöz. Bu araçlarla fizik kuvvetleri hesapla, 3D modelleme yap. Pratikle no-calculator paper’larda hızlanırsın.
Statistics and Probability: Veri ve Şans Analizi
IB Math AA syllabus’unda Statistics and Probability bölümü verileri anlamanı ve geleceği tahmin etmeni sağlar. Gerçek hayatta anketlerden risk hesaplarına kadar her yerde kullanırsın bu araçları. SL’de veri sunumu ve temel olasılıklar ön planda kalırken HL’de chi-squared testleri ve Bayes’ theorem gibi ileri konular eklenir. 2025 güncellemeleriyle probability vurgusu arttı, growth modelleriyle entegre edildi. Hadi alt konuları formüllerle ve örneklerle inceleyelim, exam’da hızlı çözersin.
Veri Sunumu ve Ölçümler
Veri sunumu veriyi görselleştirir ve patterns’ı ortaya çıkarır. Histograms continuous data için frekans dağılımı çizer; x-ekseni interval’lar, y-ekseni count veya density gösterir. Bins sayısını √n ile seç, shape’i (skewed, symmetric) belirle. Örnek: 50 öğrencinin sınav notları 0-100 arası; 10-20 arası 5 öğrenci varsa o bin yüksek çubuk olur. Skewness sağa kayık dağılımı gösterir, tail uzun tarafı işaret eder.
Box plots (box-and-whisker) summary statistics’i özetler. Median (Q2) kutunun ortası, Q1-Q3 interquartile range (IQR) kutu genişliği, whiskers min-max veya 1.5 IQR ötesi. Outliers kutu dışındakilerdir. İki box plot karşılaştırınca medyan farkı veya spread’i görürsün. Örnek: Sınıf A median 75, IQR 10-90; sınıf B median 65, IQR 20-80 ise A daha tutarlı ve yüksek.
Merkezi eğilim ve yayılım ölçüleri şöyle hesaplanır. Mean (ortalama) ∑x / n, tüm veriyi dengeler ama outliers etkiler. Median sıralı listenin ortası, robust’tur. Standard deviation (s) √[∑(x – mean)^2 / (n-1)] yayılımı ölçer; büyükse veri dağınık. Variance s^2’dir.
Örnek hesapla: Veriler 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. Mean=5, median=4.5, s≈2.0. Box plot’ta Q1=4, Q3=6, outlier yok.
| Ölçüm | Formül | Kullanım Alanı |
|---|---|---|
| Mean | ∑x / n | Simetrik veriler |
| Median | Sıralı ortanca | Skewed veya outlier’lı |
| Standard Deviation | √[∑(x-μ)^2/(n-1)] | Yayılım |
University of Toronto’nun Probability and Statistics kitabı histograms ve box plots örneklerini detaylandırır. Bu araçlarla veri setlerini yorumla, IA projende kullan.
Olasılık Dağılımları ve Testler
Olasılık dağılımları rastgele olayları modeler. Binomial distribution fixed n trial, success p olasılıklı; P(X=k) = C(n,k) p^k (1-p)^{n-k}. Mean np, variance np(1-p). Örnek: 10 zar atışında 6 üstü 4 kez gelme; n=10, p=1/3, P(X=4) hesapla.
Normal distribution bell curve, μ mean, σ standard deviation; %68 1σ içi, %95 2σ. Z-score (x-μ)/σ standardize eder. Continuity correction binomial’ı normal’e yaklaştırır (HL).
Chi-squared test kategorik veriyi test eder; goodness-of-fit beklenen-faktörlenen farkı ∑(O-E)^2 / E ~ χ²(df). Independence contingency table’larda kullanılır. Örnek: Zar adilliği testi, beklenen 1/6, χ² > kritik ise adil değil.
Bayes’ theorem conditional probability günceller: P(A|B) = P(B|A) P(A) / P(B). Prior P(A) veriyi posterior yapar. Örnek: Test %90 doğru pozitif, %95 doğru negatif, hastalık %1; pozitifsen gerçek hasta olasılığı Bayes ile ~8%.
Karşılaştırma:
| Dağılım | Uygunluk | Mean |
|---|---|---|
| Binomial | Discrete trials | np |
| Normal | Continuous symmetric | μ |
UC Davis’in Introductory Probability notları binomial ve normal örneklerini verir. HL’de chi-squared tablo oku, Bayes tree diagram çiz. Pratikle olasılık sorularını domine et, gerçek hayatta karar verirken kullan.
Calculus: Limits, Derivatives ve Integrals ile İlerleyin
IB Math AA syllabus’unda calculus bölümü matematiğin en güçlü silahlarını verir ve seni değişim hızlarını, alan hesaplarını ustalaşmaya hazırlar. Limits fonksiyonların davranışını tanımlar; örneğin lim_{x→a} f(x) = L ise f(a) tanımlı olmasa bile yaklaşır, one-sided limits ile discontinuity türlerini (removable, jump, infinite) ayırt edersin. SL’de temel limit kuralları ve continuity yeterken HL’de L’Hôpital’s rule ile ∞/∞ veya 0/0 indeterminate form’ları çözersin. Bu temel üzerine derivatives ve integrals kurulur; gerçek hayatta hız, maliyet minimizasyonu gibi problemlerde kullanırsın. Hadi alt konuları örneklerle açalım ki exam’larda rahat uygula.
Derivatives ve Applications
Derivative rules calculus’ın temel taşlarıdır ve fonksiyonların instantaneous rate of change’ini verir; power rule d/dx (x^n) = n x^{n-1}, constant multiple k f'(x), sum rule (f+g)’ = f’ + g’. Product rule (uv)’ = u’v + uv’, quotient rule (u/v)’ = (u’v – uv’) / v^2, chain rule (f(g(x)))’ = f'(g(x)) g'(x) karmaşık fonksiyonları çözer. Exponential ve trig için d/dx e^x = e^x, d/dx sin x = cos x ezberle.
Tangents eğim verir; point (a, f(a))’da slope f'(a), equation y – f(a) = f'(a)(x – a). Optimization max/min bulur; critical points f'(x)=0 veya undefined, second derivative test f”(x)>0 min, <0 max. Örnek: y = x^2 – 4x + 3 için f'(x)=2x-4=0 x=2, f”(2)=2>0 minimum.
Implicit differentiation y explicit değilse kullanılır; x^2 + y^2 = 25 için 2x + 2y dy/dx = 0, dy/dx = -x/y. Lamar University’nin implicit diff örnekleri pratik problemler sunar.
Photo by Sergey Meshkov
Integrals ve Differential Equations (HL)
Indefinite integrals antiderivatives’tir; ∫ x^n dx = x^{n+1}/(n+1) + C (n≠-1), ∫ e^x dx = e^x + C. Substitution ve integration by parts ∫ u dv = uv – ∫ v du ile genişletirsin. Definite integrals net area hesaplar; ∫_a^b f(x) dx = F(b) – F(a) Fundamental Theorem of Calculus ile, properties ile parçalara ayır.
HL’de differential equations modeller kurar; separable dy/dx = g(x) h(y) ise ∫ dy/h(y) = ∫ g(x) dx. Linear first-order dy/dx + P(x)y = Q(x), integrating factor e^{∫ P dx}. Growth/decay modelleri dP/dt = kP için P = P0 e^{kt}. Örnek: Radyoaktif decay dN/dt = -λ N, N(t) = N0 e^{-λ t}.
Utah Üniversitesi Calculus syllabus’u limits’ten integrals’e tam geçiş gösterir. Bu araçlarla fizik problemleri çöz, IA’ında uygula.
Sonuç
IB Math AA syllabus’unun beş ana konusu seni matematiğin her köşesine hazırlar. Number and Algebra ile sequences, complex numbers ve linear equations gibi temel araçları eline alırsın; Functions bölümünde grafik dönüşümleri ve modellerle gerçek problemleri çizersin. Geometry and Trigonometry vektörler, trig identities ve 3D şekillerle alanı genişletir; Statistics and Probability veri sunumu, binomial distribution ve chi-squared testlerle olasılıkları yorumlarsın. Calculus ise limits, derivatives ve integrals ile değişim hızlarını, alanları hesaplamanı sağlar. SL seviyesi pratik uygulamalara odaklanırken HL ekstra proofs, differential equations ve Maclaurin series gibi derinlikler ekler; 2025 güncellemeleriyle growth modelleri ve technology kullanımı her ikisini de güçlendirir.
Internal Assessment’ta math exploration yapman şart; gerçek dünya bağlamında bir konu seç, GeoGebra veya Python gibi araçlarla analiz et ve net iletişim kur. Exam’larda Paper 1 no-calculator becerini test eder, Paper 2 graphic display calculator ile uygulamaları sorar; HL 2 saatlik paper’larla daha uzun sürer.
Başarı için past papers çöz, grafikler çizerek görselleştir, formülleri günlük modellere uygula ve haftalık pratik yap. Bu syllabus’u hakim olunca mühendislikten ekonomiye her kapı açılır. Sen bu yolda emin adımlarla ilerliyorsun, IB Math AA seni zirveye taşır.
Yale discrete math notları gibi kaynaklarla pekiştir. Düşüncelerini yorumlarda paylaş, hangi konuyu en çok sevdin? Hadi birlikte başarıya koşalım!
