SAT Desmos İpuçları: Grafik Kısayolları ve Dönüşümler

Dijital SAT ile birlikte Desmos, matematik bölümünde yerleşik grafik hesap makinesi olarak oyunun akışını değiştirdi. Artık ayrı bir cihaz taşımıyorsun, her şey ekran üzerinde, hızlı ve net. Bu, hatayı azaltır, çözümü görselleştirir, tempoyu yükseltir. Kısacası, doğru kullanıldığında puan kazandırır. Bu yazıda, SAT Desmos ipuçları ile grafik kısayolları ve işine yarayan fonksiyon hareketlerini netleştireceğiz. Grafiği tek hamlede büyütüp küçültme, eksenleri doğru ayarlama, tablo ekleyip seçenekleri hızlı eleme gibi pratikleri ele alacağız. Ayrıca, kaydırma, yansıma, dikey yatay öteleme gibi dönüşümlerin soruları nasıl kısalttığını göstereceğiz.

Önemli Notlar

• Desmos, Dijital SAT’ta yerleşik grafik hesap makinesidir, doğru kullanıldığında süreyi kısaltır ve hata riskini azaltır.
• Kesişim, kök, tepe ve tablo ile değer kontrolü gibi işlemler tek tıkla yapılır, denklem sistemleri hızlıca çözülür.
• En pratik kısayollar: grafikleri çizip kesişimi tıklamak, tabloyla seçenek test etmek, mean(y1) ile ortalama bulmak.
• Temel dönüşümler hız kazandırır: f(x)+k dikey kaydırma, f(x−h) yatay kaydırma, −f(x) dikey yansıma, f(−x) yatay yansıma.
• Sınav rutini net olsun: ifadeyi gir, pencereyi hizala, kritik noktayı etiketle, cevabı işaretle, ilerle.

Desmos, fonksiyonları anında çizip kesişimleri görmeni sağlar, bu da denklem sistemlerini saniyeler içinde bitirir. Tilde ile regresyon setleri kurabilir, tabloyla değer kontrolü yapabilir, eşitsizlik bölgelerini net görebilirsin. Zaman baskısında bu adımlar fark yaratır. Gereksiz işlem azalır, doğruluğun artar.

Amacımız, sınavda güvenle uygulayabileceğin kısa, tekrarlanabilir bir rutin oluşturmak. Soruyu oku, ifadeyi gir, grafiği hizala, kritik noktaları kontrol et, cevabı işaretle. Bu kadar sade. Doğru kısayolları ve dönüşümleri küçük alıştırmalarla pekiştirirsen, hızın da netliğin de artar. Hazırsan, grafik kısayolları ile başlıyoruz.

Desmos Nedir ve SAT’ta Nasıl Kullanılır?

Desmos, dijital SAT’ta yerleşik bir grafik hesap makinesi, fonksiyonları anında çizip analiz etmeni sağlar. Denklemleri yazarsın, grafik oluşur, kesişimleri görürsün, tabloyla hızlı kontrol yaparsın. Doğru kullanınca hatayı azaltır, süreyi kazanırsın.

Dijital SAT’ta Desmos’a, Matematik modüllerinde ekrandaki hesap makinesi simgesinden erişirsin. Arayüz açıldığında sol tarafta ifade alanı, sağda grafik görünür. Trigonometrik sorularda açı ayarını kontrol et, çoğu soru derece ister. Ayarlar menüsünden birimini dereceye al.

Başlangıç için basit bir rutin işini görür:

1. İfadeyi gir.
2. Grafik penceresini hizala.
3. Kesişim, kök, tepe gibi kritik noktaları kontrol et.
4. Cevabı işaretle, sonra bir sonraki soruya geç.

Her soruda Desmos kullanma. Grafik, kök, kesişim, tablo, veri gerektiren sorularda aç. Basit cebir adımlarını zihinden çöz, süreyi koru.

Desmos’u Açmak ve Temel Navigasyon

Desmos arayüzü hızlı ve nettir. Solda satır satır yazarsın, sağda grafik otomatik güncellenir. Klavye ve fare ile yönetim kolaydır.

• İfade girişi: y=2x+3, f(x)=x^2-4x+1, x=5 gibi ifadeleri yaz. f(2) yazarak değeri anında al.
• Yakınlaştırma, uzaklaştırma: Fare tekerleği ile zoom yap. Sağ üstteki + ve – düğmelerini kullan. Gerekirse grafik alanını sürükleyerek kaydır.
• Pencereyi düzeltme: Eksenler kayarsa, orta ölçeğe dönmek için ev simgesini kullan. Bu, kritik noktaları kadraja alır.
• Noktaları hareket ettirme: Parametreli ifadelerde sürgü ekleyerek hızlı deney yapabilirsin. Sınavda küçük ayarlarda işe yarar.
• Hızlı erişim tüyosu: Soruyu açtığında önce ifadeyi yaz, sonra zoom ile hedef bölgeyi kadraja al. Gereksiz yakınlaştırmayı bırak, okunur bir ölçekte kal.

Zaman yönetimi için iki kural iyi çalışır. Önce zihinsel kontrol, sonra Desmos ile doğrulama. İkinci olarak, grafik penceresini her soruda sıfırlama, yalnızca gerekince ayar yap.

Grafik Üzerinde Noktaları İnceleme Yöntemleri

Desmos, noktaları bulma ve test etme işini hızlandırır. Kesişimler, kökler ve belirli x değerleri bir tık uzağındadır.

• Kesişim noktası tıklama: İki grafiği çizer, kesiştiği yerin üzerine yaklaşırsın. Küçük bir gri nokta belirir, tıkla, koordinat etiketi çıkar.
  • Örnek: y=2x+3 ve y=-x+9. Kesişimi tıkla, (2,7) bilgisini anında gör.
• Kök ve tepe bulma: Parabolün x ekseni ile kesişiminde gri noktayı tıkla. Tepe noktası için maksimum ya da minimumda beliren etiketi seç.
  • Örnek: y=x^2-4x+1. Kökleri tıkla, sonra tepe için grafiğin en altındaki etikete bak, tepe (2,-3) çıkar.
• f(x) değeri hesaplama: f(x)=3x-5 yaz. Satıra f(4) ekle, sonuç tek satırda görünür. Hızlı değer kontrolünde idealdir.
• Tablo oluşturma: İfade alanında yeni satıra tablo ekle ve x değerlerini gir. Desmos, karşılık gelen f(x) değerlerini doldurur.
  • Örnek adımlar:
    1. f(x)=x^2-4x yaz.
    2. Yeni satırda tablo ekle.
    3. x sütununa 0, 1, 2, 3, 4 yaz.
    4. f(x) sütununda değerler otomatik dolar.
• Seçenek eleme: Çoktan seçmeli sorularda seçeneklerdeki x değerlerini tabloya yaz. Uymayan değerleri hızlıca eleyebilirsin. Kesişim ya da eşitlik sorularında en hızlı yöntemlerden biridir.

Pratik kullanım akışı kısa olmalı. Grafikleri çiz, tek tıkla kesişimi oku, gerektiğinde tablo ile iki seçeneği dene, sonucu işaretle. Bu düzen, süreyi korur ve hata payını düşürür.

SAT İçin En Etkili Grafik Kısayolları

Desmos, SAT’ta grafik sorularını hızla çözmek için güçlü bir alan sunar. Doğru kısayollarla, denklemleri çözmek, kesişimleri okumak, ortalama hesaplamak birkaç tık sürer. Aşağıdaki üç pratik, süreyi korurken doğruluğu artırır.

• Eşzamanlı denklemleri çözme: İki grafiği çiz, kesişimi tıkla.
• Kesişim noktalarını bulma: Otomatik etiketleri kullan, koordinatı net al.
• Ortalama hesaplama: Liste ve tablo ile anında mean bul.

Denklemleri Hızlı Çözmek İçin Kesişim Noktaları

Desmos, iki denklemi aynı anda çizdiğinde kesişim noktalarını otomatik işaretler. Kesişimin yakınında küçük bir gri nokta belirir. Üzerine yaklaşıp tıklayınca koordinat etiketi açılır. Bu, sistemleri çözmek için en hızlı yöntemdir.

Adım adım pratik kullanım:

1. Denklemleri ayrı satırlara yaz: y=x+3 ve y=2x-6.
2. Grafiğe yaklaş, kesişimin üstünde beliren gri noktayı gör.
3. Tek tıkla etiketi sabitle, koordinatı oku.

Örnek SAT sorusu ve zaman kazancı:

• Soru tipi: “Aşağıdakilerden hangisi sistemin çözümüdür?”
• Örnek: y=x+3 ve y=2x-6. Desmos kesişimi (9, 12) olarak gösterir. Cevabı saniyeler içinde işaretlersin.
• Neden hızlı: El ile denklem çözmek yerine tek tıkla sayısal değeri alırsın. Yanlış işlem riski düşer.

Deneme-yanılma stratejisi:

• Önce grafiği kabaca gör, tahmini bir kesişim aralığı bul.
• Seçenekleri gözden geçir, en yakın olanı kontrol et.
• Gerekiyorsa biraz zoom yap, etiketi netleştir, koordinatı kesinleştir.

Kısa tüyolar:

• Kesişim gelmiyorsa, ölçeği düzelt. Ev simgesine bas ve tekrar yaklaş.
• Paralel doğrular için otomatik etiket oluşmaz. Eğimleri karşılaştır, çözümsüzlüğü hızlı fark et.
• Parabol, çember gibi eğrilerde de aynı yöntem çalışır. Kesişim sayısını etiketlere bakarak hemen görürsün.

Veri Analizi ve Ortalama Bulma Kısayolları

SAT istatistik sorularında tablo ve liste araçları büyük hız sağlar. Desmos, tabloya girdiğin değerlere göre ortalamayı anında hesaplayabilir.

Hızlı kurulum:

1. Tablo ekle ve verileri sütuna gir, örneğin y1 sütununa notlar: 68, 72, 75, 80, 85.
2. Yeni satıra mean(y1) yaz, ortalama tek satırda görünür.
3. Farklı grupları kıyaslamak istersen ikinci bir sütun oluştur, mean(y2) ile karşılaştır.

Liste ile tek satırda ortalama:

• mean([68,72,75,80,85]) yaz, sonucu anında gör.
• Toplam gerekiyorsa kısa yol: Ortalama × veri sayısı. Örneğin 5 öğrenci, ortalama 76 ise toplam 380.

Örnek SAT sorusu ve zaman kazancı:

• Soru tipi: “Yeni bir skor eklendiğinde ortalama kaç olur?”
• Uygulama: Mevcut verileri tabloya gir, mean(y1) ile başlangıç ortalamasını gör. Yeni skoru tabloya bir satır daha ekle, değerini yaz, ortalama otomatik güncellenir.
• Neden hızlı: Toplam ve bölme ile uğraşmazsın. Hata payı azalır, seçenekleri birkaç saniyede elersin.

Deneme-yanılma stratejisi:

• Hedef ortalamaya ulaşmak için yeni skor üzerinde küçük denemeler yap.
• Skoru değiştir, ortalamayı canlı takip et. Cevap aralığını hızla bulursun.
• Çoktan seçmeli sorularda seçeneklerdeki değeri sırayla yazıp mean(y1) ile test etmek etkili olur.

Kısa tüyolar:

• Veri girerken sıralama şart değil, mean sıralamadan bağımsız çalışır.
• Eğer soru toplamdan bahsediyorsa, ortalamadan geri giderek hızlı bul: Toplam, ortalama çarpı adet.
• Gerektiğinde aynı tabloda sütun başına ortalama al, grup karşılaştırması netleşir.

Bu iki kısayol, çözümü görselleştirir, hesaplamayı otomatikleştirir ve sürede ciddi avantaj sağlar. Kesişimleri tıklayıp sayıyı almak ve tabloyla ortalamayı tek satırda görmek, sınav temposunda fark yaratır.

Fonksiyon Dönüşümleri: Grafikleri Kolayca Değiştirin

Desmos’ta dönüşümleri hızlı görmek, SAT’ta çözümü kısaltır. Aynı grafiği temel alıp kaydırma ve yansıtma ile farklı senaryoları saniyeler içinde test edebilirsin. Aşağıda en çok çıkan hamleler, formülleri ve Desmos’ta pratik uygulama adımları var.

Kaydırma ve Yansıtma Teknikleri

Dört temel dönüşüm, soruların çoğunu kapsar. Her biri için kısa formül, görsel etkisi ve Desmos uygulaması:

• Dikey kaydırma, f(x) + k: Grafik yukarı k kadar çıkar, k negatifse aşağı iner. Tepe veya kökler de aynı miktarda dikey taşınır.
  • Desmos’ta: f(x)=x^2 yaz. Yeni satıra f(x)+3 ekle. Parabol 3 birim yukarı kayar. Kökler aynı x’de kalır, y değerleri 3 artar.
• Yatay kaydırma, f(x - h): Grafik sağa h kadar gider, h negatifse sola gider. Şekil değişmez, sadece konum kayar.
  • Desmos’ta: f(x)=|x| yaz. Yeni satıra f(x-4) ekle. V noktası (0,0)’dan (4,0)’a taşınır.
• x eksenine göre yansıtma, -f(x): Tüm y değerleri işaret değiştirir. Tepeler çukura, çukurlar tepeye döner.
  • Desmos’ta: f(x)=x^2-4x+1. Yeni satıra -f(x) ekle. Tepe noktası y eksenine göre simetrik değil, dikey olarak tersine döner.
• y eksenine göre yansıtma, f(-x): Grafik yatayda ayna görüntüsü alır. Sağdaki şekil sola geçer.
  • Desmos’ta: f(x)=sqrt(x+1) gibi sağa bakan bir eğri çiz. Yeni satıra f(-x) ekle. Eğri sola yansır.

Pratik bir çalışma şablonu:

1. Temel fonksiyonu tanımla: f(x)=x^2 ya da verilen başka bir form.
2. Sürgülerle dene: a*f(x-h)+k yaz, a, h, k için sürgü ekle. Hem ölçek hem kaydırmayı aynı anda gör.
3. Etiketleri sabitle: Tepe, kök veya kesişim etiketiyle değişimi takip et.
4. Renkleri ayır: Temel grafiğe gri, dönüşmüş olana parlak bir renk ver, karışmasın.

İpuçları:

• Kaydırma miktarını doğrudan koordinattan okuyabilirsin. Örneğin tepe (2, -3)’ten (5, 1)’e gittiyse, sağa 3, yukarı 4 kaydırma vardır.
• Yansıma karışıyorsa kısa kontrol yap: x ekseni yansıması mı? y değerleri işaret değiştirir. y ekseni yansıması mı? x değerleri simetrik olur.
• Dönüşümlerle ilgili hızlı bir rehber arıyorsan, Desmos kullanımı üstüne pratik örnekler sunan şu kaynaktan ilham al: Ten Tips for Desmos on the Digital SAT.

Dönüşümleri Test Sorularında Uygulama

Örnek SAT tarzı soru:

• f(x) = |x| için g, f’nin önce sağa 4, sonra aşağı 3 kaydırılıp x eksenine göre yansıtılmasıdır. g(x) nedir?
• Seçenekler tipik olarak:
  1. g(x)=|x+4|+3
  2. g(x)=|x-4|-3
  3. g(x)=-|x-4|-3
  4. g(x)=-|x+4|+3

Hızlı çözüm akışı:

1. Desmos’a f(x)=|x| yaz.
2. Sağ kaydırma için f(x-4) ekle, V noktası (4,0) olur.
3. Aşağı 3 için f(x-4)-3 ekle, V (4,-3) olur.
4. x eksenine göre yansıtma için -f(x-4)-3 ekle. V yine (4,-3) kalır, kollar aşağı açılır.
5. Doğru seçenek - |x-4| - 3. Bu, 3. seçenektir.

Neden hızlı:

• Her adımı ayrı ayrı görürsün, aklındaki dönüşüm sırasını doğrularsın.
• Seçenekleri tek tek yazmana gerek yok. Son formül hazır olunca eşleşeni bulursun.
• Kaydırma ve yansımayı karıştırma riski azalır. Zaman kazanırsın.

Ek örnek, parabol tepe takibi:

• Soru: y = (x − 5)² + 2, y = x²’nin hangi dönüşümüdür ve tepe noktası nedir?
• Desmos’ta f(x)=x^2, sonra g(x)=(x-5)^2+2 yaz. Tepe (5,2) olarak etiketlenir. Yorum: Sağa 5, yukarı 2 kaydırma.

Kısa kontrol listesi:

• Kaydırma yönergeleri: +k yukarı, -k aşağı. x-h sağa, x+h sola.
• Yansıma işaretleri: -f(x) dikey tersine çevirir, f(-x) yatay ayna görüntüsüdür.
• Kritik noktaları sabitle: Tepe, kök, kesişim etiketleri dönüşümü doğrular.

Dönüşümleri düzenli pratikle pekiştirmek istersen, Desmos’un SAT hesap makinesi kullanımını adım adım anlatan bu rehber de hızlı çalışır: A Step-by-Step Guide to the DESMOS SAT Calculator. Bu tür görsel pratikler, sınavda refleks hızına dönüşür.

Desmos ile SAT Hazırlığı: Pratik İpuçları ve Stratejiler

Desmos, hız ve doğruluk getirir, ama rutin olmadan işe yaramaz. Hazırlıkta hedef, Desmos’u bir alışkanlığa çevirmek, ne zaman açıp ne zaman bırakacağını bilmek, süreyi kontrol etmektir. Aşağıdaki öneriler, prova düzenini kurmana ve sınavda temponu korumana yardım eder.

Pratik Yapma ve Zaman Yönetimi

Desmos’u provalarda sistemli kullanırsan, sınavda refleksin artar. Hangi adımı, hangi sırayla yapacağını önceden netleştir.

• Kısa rutin oluştur:
  1. Soruyu oku, türü belirle.
  2. İfadeyi yaz, grafiği hizala.
  3. Kesişim veya kritik noktayı etiketle, cevabı işaretle.
• Aynı kısayolları tekrar et: y=..., f(x)=..., tablo, yakınlaştırma. Beynin otomatik pilota bağlanır.

Prova düzeni, gerçek sınavı taklit etmeli. Her denemede aynı ayarları kullan, aynı hızda yaz. Desmos’un SAT sürümünde derece modu, otomatik etiketler, tablo ekleme gibi özelliklere odaklan. Kısa bir rehbere ihtiyaç duyarsan, pratik odaklı öneriler içeren şu kaynak işine yarar: Desmos® Tips for the SAT®: How to Use the Digital SAT®.

Basit işlemlerde kalem kağıt kullan. Her şeyi Desmos’a yazmak süre kaybıdır.

• Hızlı cebir: Dağılma, ortak çarpan, küçük kare açılımları.
• Kısa kesirler: 10 ile, 100 ile çarpma, sadeleştirme.
• Kafa hesabı: 15, 30, 45, 60 gibi üçgen oranları, basit yüzde farkları.
• Kısa çizimler: Basit sayı doğrusu, tahmini eğim, kaba tablo.

Ne zaman Desmos, ne zaman değil? Bu karar ağacı iş görür.

• Grafik, kök, kesişim, eşitsizlik bölgesi, doğrusal doğrulama, veri ortalaması, regresyon, karmaşık trig varsa, Desmos’u aç.
• Sembolik sadeleştirme, basit denklem tek adımda çözülüyorsa, kalem kağıt ile bitir.
• Emin değilsen, önce kalemle 15 saniye düşün, sonra Desmos ile doğrula.

Zaman hedeflerini netleştir.

• 30 saniyede karar ver: Desmos ile mi, kalemle mi?
• 60 ila 90 saniye arasında çözüm çıkmıyorsa, bayrak koy, geç, sonra geri dön.
• Çoktan seçmeli ise, seçenekleri tabloya kısa test olarak gir, hızlı ele.

Yazım hızını artırmak için küçük ama etkili hamleler kullan.

• Kısa fonksiyon isimleri yaz: f(x), g(x) gibi.
• Parametreli şablon kur: a(x-h)^2+k, sürgüleri bir kez ekle, her soruda kopyala.
• Grafik penceresini ev simgesi ile toparla, sonra hedef bölgeye zoom yap.
• Etiketleri sabitle, gereksiz yakınlaştırmayı bırak.

Grafiği hızlı incele, kararı net ver.

• Kesişim gri noktası gelmiyorsa, ölçeği düzelt, yakınlaş, bir kez tıkla.
• Eğim kıyaslama gerekiyorsa, iki doğruyu çiz, paralellik ya da tek kesişimi gör.
• Tepe ve kök takibinde, önce tepeyi etiketle, sonra kökleri kontrol et. Hata payı düşer.

Önceden öğren, sınavda deneme yapma. Şu minik kontrol listesini provalarda uygula:

• Trig sorularında açı birimini kontrol et, derece kullan.
• İşaret hataları için sayısal kontrol yap, f(0), f(1) gibi küçük denemeler ekle.
• Tablo ile seçenek testini 20 saniyede bitir, gereğinden fazla inceleme yapma.
• Kapanış kuralı: Cevabı işaretledikten sonra grafikte bir kritik noktayı daha doğrula.

Prova stratejini haftalık döngüye bağla.

• 3 gün kısa alıştırma, 20 dakika: 8 grafik, 4 tablo, 4 kesişim.
• 2 gün modül simülasyonu, 35 ila 40 dakika: Tam hızda, tek oturum.
• 1 gün analiz: Hata türlerini etiketle, “Desmos’ta geç kalma”, “kalemle uzatma”, “yanlış pencere” gibi.

Son adım, tekrarlanabilirlik. Aynı ritmi sürdüren öğrenci hızlanır, stresi düşer, puanı yükseltir. Bugünden başlayarak bir deneme aç, yukarıdaki rutinle çöz ve kendi sürelerine bak. Bir hafta sonra farkı hissedersin.

Yazımızı Özetlersek

Desmos, dijital SAT’ta hız ve netlik sağlar, hatayı azaltır, puanı korur. Bu yazıda gördüğün gibi, doğru kısayollarla kesişimleri tek tıkla okuyabilir, tabloyla ortalamayı anında kontrol edebilir, dönüşümlerle grafikleri saniyeler içinde doğrulayabilirsin. Kaydırma, yansıma ve ölçekleme adımlarını bir şablonda topladığında, her soru daha kısa sürer ve daha güvenli ilerlersin.

Şimdi sırayı pratik alıyor. Kısa bir rutin belirle, her denemede aynı adımları uygula, süre tut ve tekrar et. Basit soruları kalemle çöz, grafik ve veri içerenleri Desmos ile hızlandır. Her oturumda birkaç kesişim, birkaç tablo, birkaç dönüşüm denemesi ekle. Küçük ama düzenli çalışma, bir hafta içinde hız farkı yaratır.

Bir sonraki adım net olsun. Bugün 10 dakikalık bir mini set aç, Desmos ile yukarıdaki akışı uygula, sürelerini not et. Gerekirse uzman bir eğitmenle ya da yapılandırılmış bir SAT kursu ile düzen kur. Hedef net, araç elinde, yol bellidir. İstikrarlı pratikle, hem hızın hem doğruluğun yükselir. Şimdi başla ve kazanmayı alışkanlığa çevir.

SAT Desmos İpuçları Hakkında SSS

Dijital SAT’ta Desmos’a nasıl erişilir ve hangi ayarı kontrol etmeliyim?

Matematik modüllerinde ekranın üstündeki hesap makinesi simgesine tıkla, sol tarafta ifade alanı, sağda grafik görünür. Trig sorularında açı birimini kontrol et, çoğu soru derece ister. Ayarlardan dereceyi seç.

Kesişim, kök ve tepe noktalarını en hızlı nasıl bulurum?

İlgili fonksiyonları ayrı satırlara yaz, grafiğe yeterince yaklaş. Kesişim, kök veya tepe yakınında gri bir nokta belirir, tıklayınca koordinat etiketi çıkar. Bu yol, denklem sistemlerinde saniyeler kazandırır.

Hangi sorularda Desmos’u açmalı, hangilerinde kalem kâğıt yeterli?

Grafik, kök, kesişim, eşitsizlik bölgesi, veri analizi ve trig içeren sorularda Desmos aç. Tek adımda çözülen cebirsel sadeleştirme ve basit denklemler için kalem kâğıt daha hızlıdır.

Ortalama veya veri sorularında en kısa yol nedir?

Tablo ekle, değerleri sütuna gir, yeni satırda mean(y1) yaz, ortalama anında görünür. Alternatif olarak mean([…]) ile listeyi tek satırda hesaplayabilirsin. Seçenek testinde her değeri tabloya ekleyip ortalamayı karşılaştır.

Dönüşümleri hatasız uygulamak için hangi formülleri kullanmalıyım?

Dikey kaydırma f(x)+k, yatay kaydırma f(x−h), x eksenine göre yansıma −f(x), y eksenine göre yansıma f(−x). Sırayı bozmamak için f(x) tanımla, g(x)=a·f(x−h)+k şablonunu yaz, a, h, k için sürgü ekle ve kritik noktaları etiketle.